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Esperimenti autoreferenziali di pensiero ortogonale

Tag: Mandelbrot

Benoit Mandelbrot, eroe segreto della scienza.

E’ morto Benoit Mandelbrot.

Al primo Festival della Matematica romano, nel 2007, si aggirava intimidito dalla folla, camminando con lo sguardo fisso a terra, seguendo la direzione delle piastrelle, attento a non toccare i bordi, come i bambini. Almeno, così mi parve. Non voglio dimenticare il boato di applausi e grida che lo accolse sul palco: migliaia di giovani matematici e curiosi che erano sinceramente commossi di vedere il loro eroe segreto sul palco. Almeno, così lo sentii io. Ascoltate l’intervento, splendidamente chiamato “Il liscio, il ruvido, il meraviglioso“, poi mi dite.

E’ difficile e allo stesso tempo facile spiegare cosa è stata l’opera di Mandelbrot. Ha inventato una parola e un concetto, frattale, entrato nel linguaggio comune (sinonimo di autosomiglianza, complessità, infinita ripetizione). Una autentica rivoluzione culturale, un lavoro certosino basato sulla potenza visionaria di un umile matematico francese avverso ai bourbakisti e alla loro algebrizzazione della realtà (matematica); un ridare dignità (matematica) alla forma irregolare, al caos, alla complessità del mondo. Uno svelamento della miopia scientifica che da sempre si occupava soltanto di forme belle e semplici, lasciando l’imperfetto e il quotidiano sempre fuori dai giochi.

Scintificamente anarchico, interdisciplinare per vocazione, ha esplorato per tutta la vita il dorato mondo delle forme e dell’irregolarità, della complessità e del caos; ha approfondito e generalizzato i concetti di dimensioni e di scala, scardinando la millenaria tradizione euclidea e il nostro (falso) buonsenso. Studiava la “morfologia dell’amorfo“, come si divertiva a chiamarla.

Franco Brezzi, nella sua introduzione all’intervento, descrive bene l’amore di Mandelbrot per la geometria, quasi  un “sesto senso per la forma, come Mozart per la musica, un rapporto privilegiato, che a noi sfugge“.

Il suo silenzioso lavoro è entrato nell’immaginario comune, ha aperto un nuovo mondo di forme e complessità, ha modificato irreperabilmente la geometria ( e la fisica, biologia, finanza, ecc.) dandoci la possibilità di guardare al mondo come veramente è: caotico, spesso imprevedibile, infinitamente complesso. La prossima volta che comprate un broccolo romanesco, o accarezzate una selce, o guardate le montagne, o vedete una visualizzazione di Winamp, pensate che l’aggettivo per comprendere queste cose lo ha inventato lui.

E niente. E’ morto questo personaggino qui, al quale ho voluto un bene fisico, che ha scoperto/inventato “l’oggetto più complesso esistente in matematica“, che mi ha convito a iscrivermi a matematica, che è stato un mio eroe per anni. Gli ho stretto la mano, quella volta a Roma, e faceva davvero tenerezza, un po’ curvo e affaticato. Mandelbrot, chissà che bel nonno dovevi essere.

Ioan P. Couliano, Introduzione a “Religioni”

L’epistemologo Karl R. Popper aveva più ragione di quanto non pensasse nel deplorare quello che chiamava la «povertà dello storicismo». Infatti, le mitologie storiche tardano a fare proprie nozioni ormai correnti, che già da molto tempo hanno rivoluzionato altre scienze umane, quali per esempio, le nozioni di «sistema», di «complessità», di «informazione». L’opera di Edgar Morin ha avuto il merito di farle conoscere anche in Francia, e questo ci dispensa dal doverle definire anche in questa sede. L’opera del matematico francese Benoit Mandelbrot ha aperto prospettive straordinarie sulla descrizione delle proprietà matematiche degli oggetti naturali in termini di «frattali». Ogni ramificazione infinita che risponde ad una certa regola è un «frattale». I pensieri che circolano nello spazio della mia coscienza producono questo testo attraverso la manipolazione del frattale della lingua francese, di quello di un linguaggio specialistico e di quello del genere «Dizionario» e della specie «Introduzione», e obbediscono anche ad altri ordini latenti: «semplice», «chiaro», «succinto», «senza note», «pubblico profano», «circospezione», e così via.
Ma il mio sguardo va alla finestra, in cerca della luce che volge al tramonto, e un nome familiare mi induce a sorridere.
La mia vita è un sistema di frattali estremamente complesso, un sistema che si muove simultaneamente su più dimensioni. Ne enumero alcune, come per esempio «professore», «collega», «vicino», oppure «amore», «lettura», «musica», «cucina», e poi mi fermo. In ogni momento io sono fatto di tutte queste dimensioni e di migliaia di altre ancora, che (per il momento) non trovano neanche una definizione sui dizionari linguistici, e le cui combinazioni sono praticamente infinite. Uno spazio matematico il cui numero di dimensioni sia infinito si chiama «spazio di Hilbert». Con il matematico americano Rudy Rucker, posso definire la mia vita come «un frattale nello spazio di Hilbert».

Sebbene molto più complesso, anche il corso di questa giornata è «un frattale nello spazio di Hilbert», e allo stesso modo lo è la storia di questa città, la storia del Midwest americano, la storia degli Stati Uniti, quella dei continenti americani e quella del mondo intero, dalle origini ai giorni nostri. Tutte queste storie che sono contenute l’una nell’altra rappresentano delle ramificazioni, infinite, perché hanno un numero infinito di dimensioni.

Se è possibile ammettere della definizioni così generiche da farci pensare che non ci impegnino minimamente, sarà più difficile invece, accettare l’idea che la vita, questi fenomeno anarchico per eccellenza, «faccia sistema».
In realtà la mia vita si organizza sulla base di un meccanismo di opzione binaria, perché istante per istante va a urtare contro un’ «informazione» che genera un «sistema»: alle 6,35 del mattino la mia svegli suona, ponendomi di fronte alla scelta se alzarmi oppure no. Se lo faccio, cosa che accade abitualmente vengo posto di fronte all’alternativa della colazione, di che cosa mangiare, e così via. In tutto questo arco di tempo i miei pensieri seguono un corso che è determinato dalle mie attività, sentimenti, eccetera, e prendono continuamente forma in base a situazioni e modelli di comunicazione infinitamente complessi. Io so che cos’è la mia vita (un frattale nello spazio di Hilbert), ma mi è impossibile descriverla in tutta la sua complessità, a meno di non riprodurla così com’è. Non posso fare altro che viverla (ed è quel che faccio). Ma le cose vanno in tutt’altro modo per quel che riguarda le scelte fondamentali che io opero in ogni momento, quelle che «fanno sistema». Quelle, posso descriverle, anche se so bene che rappresentano soltanto le sfaccettature di un sistema infinitamente più complesso.

Ma la religione, in che modo fa sistema? Alcuni autori, che per altro condividono orientamenti molto diversi – come ad esempio Emile Durkheim, Marcel Mauss, Georges Dumèzil, Mircea Eliade e Claude Lèvi-Strauss – hanno tutti sottolineato l’idea che la religione risponde a certe strutture profonde. Durkheim, nel suo libro fondamentale Les formes élémentaires de la vie religioeuse (1912), esprimeva l’idea che il sistema religioso è eteronomo, nel senso che codifica un altro sistema: il sistema, cioè, delle relazioni sociali all’interno di un gruppo. Come Durkheim, Georeges Dumèzil fino alla fine della vita è rimasto fedele alla concezione del mito come «espressione drammatica» dell’ideologia fondamentale di ogni società umana (Heur et malheur du guerrier, p.15 tr.it.: Ventura e sventura del guerriero, Torino 1974 ). Al contrario, analizzando a più riprese il mito di Asdiwal degli Indiani Tsimshian della costa nordoccidentale dell’America Settentrionale, Claude Lèvi-Strauss giunge ad una conclusione diametralmente opposta a quella di Durkheim e di Dumèzil, e in particolare scrive che «questo mito […] sceglie sistematicamente di trasporre tutti gli aspetti della realtà sociale in una prospettiva paradossale» (Paroles donnèes, p.122). Questo significa che, per Lévi-Strauss, il sistema delle religioni è autonomo rispetto al sistema della società.

Nonostante tutte le differenze che li contrappongono, Mircea Eliade e Claude Lèvi-Strauss hanno in comune il fatto che entrambi mettono in valore le «regole» in base alle quali una religione si costruisce, e quindi il suo carattere sistemico; inoltre entrambi sottolineano l’autonomia della religione rispetto alla società.

Ma in che modo è possibile tradurre in pratica i risultati di questa constatazione alquanto vaga, dalla quale risulterebbe che la religione (e tutto il resto) è un sistema? In realtà non si tratta di una scoperta recente, ma ciò che essa in primo luogo è che i dati della religione sono sincronici e che la loro distribuzione diacronica è un’operazione le cui cause possiamo tralasciare di analizzare; oppure, ove se ne intraprenda l’analisi, occorre rifarsi continuamente a dimensioni sempre nuove di frattali infinitamente complessi. In questa prospettiva la religione non possiede una «storia» e la storia in un dato momento non viene definita da una «religione», ma solamente da qualche frammento incompleto di una religione. Perché una religione è prima di tutto un sistema infinitamente complesso e poi la parte di quel sistema che è stata scelta nel corso della sua storia; oppure, solo una parte infinitesimale di questo frattale è presente, in un dato momento che possiamo chiamare «ora». L’«ora» del Buddismo è molto più ridotta del Buddismo che è stato (e che continua a essere), e questo, a sua volta, è molto più ridotto rispetto al sistema del Buddismo nella sua forma ideale (vale a dire i Buddismo comprensivo di tutte le ramificazioni possibili del frattale che ha avuto origine dalle sue premesse, dalle sue condizioni di esistenza, ecc.).

Occorre sottolineare ancora una volta che questa prospettiva non è nuova. Già gli eresiologi cristiani come Ireneo di Lione o Epifanio di Salamina e i dossologi arabi come Al-Nadim o Shahrastani condividevano la concezione sistemica della religione, dal momento che sapevano molto bene e mostravano a ogni piè sospinto che qualsiasi eresia è la variante di un’altra eresia e che le diverse dottrine religiose coincidono in base a regole alquanto evidenti. E chi meglio dello storico dei dogmi cristiani sa che tutte le idee per le quali i popoli erano capaci di aizzarsi derivavano l’una dall’altra, secondo un meccanismo che non possedeva alcuna «realtà» esterna alla coscienza umana, quell’apparato la cui funzione sembra essere quella di spezzettare all’infinito i pensieri a partire da certe premesse che derivano a loro volta da presupposti aleatori? E’ impossibile sapere (empiricamente) se Gesù Cristo occupa la stessa posizione di Dio Padre o se gli è inferiore, e nel caso non sia né una cosa né l’altra, in quale reciproco rapporto gerarchico si trovino con esattezza. Tuttavia, se si conoscono i dati del sistema (e in questo caso che esiste una trinità divina composta di tre persone o per lo meno di tre membri ciascuno dei quali ha un nome) è perfettamente possibile anticipare tutte le soluzioni possibili del problema, che in realtà non sono affatto «storiche» (anche se sono state annunciate da personaggi diversi in epoche diverse), dal momento che sono presenti in maniera sincronica. In altri termini, prima ancora che compaiano un Ario o un Nestorio, io so che compariranno un Ario e un Nestorio, perché le soluzioni da essi proposte fanno parte del sistema, ed è questo sistema che pensa Ario e che pensa Nestorio, nel momento in cui Ario e Nestorio ritengono di essere loro a pensare il sistema. E ciò che vale per la cristologia o la mariologia è altrettanto valido per qualsiasi altro sistema, ivi compresa la scienza e l’epistemologia, non meno dell’analisi sistemica di ciascuno di questi sistemi.
Non è il momento di occuparci delle conseguenze di questa prospettiva sistemica. Ma in che modo si giustifica il fatto di averla adottata in un semplice dizionario, un’opera di consultazione? Noi l’abbiamo adottata perché permette al lettore di considerare i meccanismi che creano i diversi aspetti di una religione. Tuttavia è evidente che l’analisi sistemica è stata utilizzabile soltanto quando la complessità dei dati lo ha reso possibile, per esempio, nei casi del Buddismo, del Cristianesimo e dell’Islam. Quando lo spazio riservato all’esposizione degli elementi essenziali di una religione era troppo ristretto, ne abbiamo fatto solo una descrizione sintetica, tenendo conto per quanto possibile delle fonti primarie e secondarie più importanti.

Pertanto questo Dizionario presenta almeno tre «dimensioni» al livello di lettura: il livello di un’esposizione «obiettiva», che contiene i dati essenziali di molte religioni; il livello «letterario», che permetterà a ciascuno di leggere, se non il «romanzo» della storia delle religioni, come intendeva Mircea Eliade, almeno un susseguirsi di racconti che si riferiscono tutti allo stesso argomento; e infine, il livello di un’analisi di sistemi religiosi, delle loro somiglianze e delle differenze. Al pari della luce della lampada che si posa sullo schermo, dei miei pensieri che si allontanano dal computer e da queste pagine che vi resteranno impresse, le tre dimensioni di questo libro saranno presenti simultaneamente, in ogni momento. Perché i libri hanno una loro vita, e questa vita non è altro che un frattale nello spazio di Hilbert.

Ioan P. Couliano, Introduzione a Religioni,
di Mircea Eliade e Ioan P. Couliano, Jaca, Milano, 1992.

Grazie, Doug.

Ricordo ancora quando trovai questo libro, usato, in una delle mie innumerevoli incursioni da consumato cercatore di perle.
Era appoggiato allo scaffale, copertina a faccia davanti, con il triangolo di Penrose che sorrideva come chi ti aspettava da tempo.
Non ho neanche chiesto quanto costava, io che sono tirchio che faccio schifo, tanto lo aspettavo anche io. Cinque anni fa.

Oggi ho finito Gödel, Escher, Bach e non mi sembra vero.
Era la mia personale Recherche, un libro infinito nella profondità e nella vastità, un’eterno aggrovigliarsi di idee e suggestioni.

Ne leggevo una pagina e vagavo mentalmente per minuti bollenti, arginando il torrente di concetti che mi si paravano contro. Era faticoso, ma tremendamente eccitante.

L’ho lasciato da solo per vari mesi, più volte. Mi sorrideva molle dal comodino, ogni tanto anche lui annoiato non voleva vedermi e ce ne stavamo zitti entrambi.

Ho venerato questo libro anni prima di averne una copia in mano, ne leggevo commenti ovunque e sapevo che c’era, era là fuori da qualche parte, ed un giorno sarebbe capitato anche a me.

La lotta è stata lunga, estenuante. Il tedio ha addormentato entrambi, molte volte, ma sempre con la consapevolezza di un rapporto di essere ormai legati. La mia lettura è stata talmente discontinua, ed il mio arrovellarmi così puntuale, da non sapere più cosa sia mio e cosa di GEB, i pensieri si sono intrecciati e non ho idea se alcune cose che credo di questo libro siano invece mie.
Sicuramente, ogni pagina è stata un trampolino per splendidi tuffi e lunghe nuotate.

Ho goduto esaltazioni puerili per brani che mi davano un’eccitazione fisica, ho sperimentato, dopo tanto, la gioia pura di un’epifania in una buia notte a Tallinn, scoprendo i numeri soprannaturali. Ho goduto, davvero, come si gode di Borges e di Moby Dick, nelle notti di lotta contro la balena-libro.

Non so se a voi interessi l’Intelligenza Artificiale, o il problema della coscienza, della vita, anche.
Ma questo libro parla di molto, molto di più.
Dei gangli segreti del mondo, in un certo senso.
Dell’ontologia, del mondo di informazione là fuori, della geografia dell’Iperuranio.

Una splendida carrellata di eroi, da Gödel a Lewis Carroll, da Escher a Tarski, da Turing a Bach, da Minsky a Church. Tante perle nascoste, come Mandelbrot, Kim, Wiener, Wilson, Chaitin, Schrödinger. Una bibliografia, un po’ datata, ma lussureggiante di idee e suggestioni.

Il mio mattone nero è ora lì, spostato nello scaffale dei libri letti.
Ci ho messo 5 anni, e non mi era mai capitato di lottare così a lungo. Capiteranno sicuramente altri capolavori, ma credo mai più un libro che abbia abitato la mia mente come Gödel, Escher, Bach. Un’Eterna Ghirlanda Brillante.

Matematica e visualizzazione

Oggi è il Pi day, quindi sarò addirittura più geek del solito e parlerò, ebbene si, di matematica. Quindi non rompete le scatole e smettete pure di leggere qui, se non vi interessa.

——————–SPAZIO FISICO PER FARVI SMETTERE DI LEGGERE ——————-

Bene, ora che siamo rimasti solo noi bipedi con poca vita sociale, possiamo incominciare.

Una cosa a cui ho sempre anelato in matematica, è la rappresentabilità, la possibilità di visualizzare i concetti (siano essi teoremi od altro). Visualizzare qualcosa non è una cosa nuova, gli esseri umani cercano di farlo dall’alba dei tempi: il disegno, il simbolo, il grafico cercano di “passare un concetto” raffigurandolo, comprimendolo in qualche segno visibile. Funzioniamo così, da sempre: il disegno, se fatto bene, è conciso, limitato, ed offre in una sola occhiata tutti i concetti che si vogliono esprimere.

Il disegno, cioè, in altre parole, comprime in maniera statica, iconica il messaggio che si vuole comunicare. Nel nostro mondo ipercomplesso, sta acquistando sempre più piede l’arte/scienza di visualizzare la complessità, attraverso schemi, filmati od animazioni interattive. Si chiama infografica, ed è un campo decisamente affascinante. Si cerca di riportare al più semplice qualcosa che semplice non è, spiegandolo ad immagini e non a parole. Si traduce il tutto ad un altro linguaggio, quello visivo.

Come ha sempre creduto Mandelbrot, vedere è importante.

Ora, ‘sto pippone per dire che in matematica si visualizza poco. Non è sicuramente facile spiegare ad immagini concetti algebrici o spazi n-dimensionali, ma non c’è neanche lo sforzo di ricondurre in breve carta la complessità, la concatenazione logica, la correlazione di fattori.

Non è tanto (o non solo, almeno), una disputa fra geometria ed algebra (anche se Bourbaki ha certamente le sue colpe). Il problema è oltre: se la reductio ad algebram ha portato e porta ad una profondità maggiore (cioè arrivare ad un core/cuore di concetti fondamentali), ben venga.

Il problema è la tendenza ad utilizzare solo un linguaggio (nello specifico, quello matematico, ma che comunque utilizza soltanto la nostra intelligenza logica e verbale).

Quando studiavo mate, usavo la lavagna bianca (in camera, il peggiore dei nerd), per avere una visione globale della materia.
Per l’esame sulla teoria di Galois (solo 3 giorni perchè era la prof. che dava 30 di default e io mi dovevo laureare :-)), la sensazione quasi fisica era quella di intravedere la concatenazione di cause ed effetti, di sfiorare la configurazione logica ma anche “fisica”, di teoremi e risultati. Non ci sono mai arrivato, ma sono sicuro che siano possibili ottimi metodi per illustrare almeno il nucleo dei risultati più importanti.

Ma è davvero mai possibile che nessuno pensi mai di riportare il complesso al semplice? Che la nostra intelligenza non è solo logica ma anche iconica, musicale, motoria? Secondo voi perchè abbiamo sempre utilizzato sommari, mappe, grafici, esempi, esperimenti, visualizzazioni? Riportare tutto a livelli diversi, ma sempre sintetizzando. Siamo macchine che si costruiscono il mondo a partice molteplici input. Provate voi a capire chi vi parla soltanto dalla struttura logica e semantica del suo discorso: come leggere la trascrizione automatica di una telefonata.

La matematica è un paesaggio.
Un mondo in cui si cammina, si corre, si esplora.

E’ un linguaggio, un luogo, quindi si abita. E’ qualcosa che dovremmo conoscere esattamente come conosciamo il mondo, manipolando e rigirandolo, vedendolo sotto più punti di vista. Si abita, appunto.

La matematica è un paesaggio: ed i paesaggi solitamente sono meglio dipinti che descritti, no?

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